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$$|v_i,_j|^2=\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(λ_i(A)-λ_k(M_j))}{\prod_{k=1,k\not=i}^{n-1}(λ_i(A)-λ_k(A))}$$

$A$为$n$阶矩阵，若数$λ$和$n$维非$0$列向量$x$满足$Ax=λx$，那么数$λ$称为$A$的特征值，$x$称为$A$的对应于特征值$λ$的特征向量。

$$一个矩阵A乘以一个向量x，$$

$$就相当于做了一个线性变换λx。$$

$$方向仍然保持不变，$$

$$只是拉伸或者压缩一定倍数λ。$$

$$空间矢量的旋转和缩放。$$

# 求解特征向量

$$Ax=λx \Rightarrow Ax=λEx \Rightarrow (λE-A)x=0$$

$$|v_i,_j|^2=\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(λ_i(A)-λ_k(M_j))}{\prod_{k=1,k\not=i}^{n-1}(λ_i(A)-λ_k(A))}$$

$v_i,_j$为特征值$λ_i$对应特征向量的第$j$个元素;

$λ_i(A)$ 为矩阵$A$的第$i$个特征向量;

$M_j$ 为矩阵$A$的第$j$个余子式,$λ_k(M_j)$是该主子式的第$k$个特征值.

# 参考文献

Eigenvectors from Eigenvalues

Eigenvalues: the Rosetta Stone for Neutrino Oscillations in Matter

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