One

,满足,.

(1)证明存在,并求其值。

(2)求.

我们称叫做递推式,也叫迭代式。

上一步的函数值是下一步的自变量,如此循环‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‌‌往复。

迭代过程:

绘制图像

相当于在两条曲线的夹缝中求生存,最终的极限值趋近于‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‌‌0.

数列单调减少,且有下界0.

(1)‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‌‌用数学归纳法证明有界.

1.验证.

2.设.

3.则.

于是有下界0.

且显然.

由单调有界准则,存在,记为.

,得,解得,于是.

‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‌‌(2)

.

由于存在,由归结原则:.

Two

(1)证明方程内有唯一实根

(2)对于(1)中的,任取,定义,证明.

是超越方程,只能求得数值解,不能求得解析解,交点就在那里,可是就是不知道它是几.

相当于在两条曲线的夹缝中求生存,最终的极限值趋近于.

数列单调减少,且有下界.

Three

,,,证明存在且其极限是方程的根.

是超越方程解不出解析解,交点就在那里,可是就是不知道它是几。

(1)证内有唯一实根

,则,.

.

.单调递减.

. 唯一

(2)证.

构造.

由拉‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‌‌格朗日中值定理:

数学‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‌‌归纳

由于

‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‌‌故连续放缩得

于是有界.

.

.

Four

,,,.若存在,求的取值范围.

数学归纳

1..

2.设.

3.则

单调增加。

存在,记为

.

于是有交点.

时,有交点.

时,

‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‌‌1.

2.设

3.则.

‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‌‌有上界.

综上,当时,存在,且值为的根.

‌‌‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‌‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‌‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‍‌‍‍‍‍‍‌‌‍‌‌[注]

(1)当时,有2个交点.

eg.当时,,.

(2) 当在怎样的正数取值范围内取值时,曲线和直线必相交?

曲线和直线相交的充要条件是存在,使得,即

属于的值域.由于=0.故只需求出的最大值的取值范围就是.

可得唯一驻点.当,当,

时为内的最大值.

由此,曲线和直线相交的充要条件是满足.

评论