子矩阵的特征值编码了原矩阵特征向量的隐藏信息。

λλλλ

阶矩阵,若数λ维非列向量满足λ,那么数λ称为的特征值,称为的对应于特征值λ的特征向量。

它的物理意义是:

线λ

λ

特征向量和特征值的几何本质,其实就是:

线性变换

线性变换 A 对于特征空间只起到“扩张(或者压缩)”的作用(扩张后还是同样的特征空间)

求解特征向量

按照传统解法:

计算特征多项式→求解特征值→求解齐次线性方程组,得出特征向量。

λλλ

全新的方法:

λλλλ

其中:

为特征值λ对应特征向量的第个元素;

λ 为矩阵的第个特征向量;

为矩阵的第个余子式,λ是该主子式的第个特征值.

通过删除原始矩阵的行和列,创建子矩阵。

子矩阵和原始矩阵的特征值组合在一起,就可以计算原始矩阵的特征向量。

简而言之,已知特征值,一个方程式就可以求得特征向量。

参考文献

Eigenvectors from Eigenvalues

Eigenvalues: the Rosetta Stone for Neutrino Oscillations in Matter

评论